自由に動けるのに、流れない——ブロッホとウィルソン、固体の中の電子 1928〜1931年

前回は、ディラックの方程式から「空席がプラスの粒のようにふるまう」という考えが出てきた話でした(第3回はこちら)。第4回の舞台は、真空ではなく、身のまわりの固体です。銅線は電気をよく通し、ダイヤモンドはほとんど通しません。どちらの中にも電子はたくさんあります。では、何が違うのか。答えが出るまでの3年間には、二つの段がありました。まず「なぜ通すのか」が解け、そのせいで「なぜ通さないのか」が分からなくなったのです。

金属の線は、空っぽの管ではない

金属が電気を通すのは、中に自由に動き回れる電子があるからだ。この考えは1900年、ドイツの物理学者ドルーデが形にしました。金属の中の電子を、箱の中を飛び回る気体の粒のように扱う。単純な絵ですが、電気や熱の通りやすさをかなりうまく説明できました。

ただ、困った点がありました。電子がそれほどたくさん飛び回っているなら、金属を温めるとき、電子も熱を受け取るはずです。ところが測ってみると、その熱がほとんど見当たりません。

この点は1927年の暮れに片がつきます。ミュンヘンのゾンマーフェルトが、できたばかりの量子力学の数え方を、電子の気体に当てはめたのです。鍵は、前シリーズ第4回に出てきたパウリの排他原理、つまり「一つの状態には電子が一つしか入れない」という規則でした。電子はエネルギーの低い席から順に詰まっていて、ほとんどの電子は、少し温めたくらいでは席を移れません。熱を受け取れるのは、いちばん上のほうにいる一握りだけです。

けれどもゾンマーフェルトは、電子と金属の原子の関わり方については、新しい仮定を何も置いていませんでした。古い理論の前提を、新しい数え方で計算し直しただけです(本人が論文の要旨にそう書いています)。いちばん素朴な疑問は残ったままでした。金属の中には、電子を手放してプラスの電気を帯びた原子(イオン)がびっしり並んでいます。電子はなぜ、それにぶつからずに進めるのか。のちにこの問題を解くフェリックス・ブロッホは、こう振り返っています。金属の線はイオンがぎっしり詰まっていて、空っぽの管とはほど遠い、と。

1928年、ライプツィヒ——波なら、並びは邪魔にならない

ブロッホは1927年の秋、ライプツィヒ大学のハイゼンベルクのもとへやって来ました。博士論文の題目として勧められたのが、金属の理論です。ブロッホは、電子がどうやってすべてのイオンのわきを「こっそり通り抜ける」のか、それを説明することがいちばんの問題だと考えました。

手始めに、いちばん簡単な場合を調べます。イオンが一列に等間隔で並んでいるとして、その中の電子の波を量子力学で解く。すると「うれしいことに」(ブロッホ自身の言葉です)、答えは、何もない空間を進む自由な電子の波とほとんど同じでした。違いは、波の形に、イオンの並びと同じ間隔の細かい模様が付くことだけ。ハイゼンベルクに見せると、すぐに「それだ!」と言われたそうです。

電子を粒だと思えば、びっしり並んだイオンは障害物です。けれども波だと思えば、規則正しく並んだものは障害物になりません。波は、並びに合わせて形を少し変えるだけで、どこまでも進んでいきます。完全に規則正しい結晶の中では、電気抵抗はゼロになるはずなのです。

では、現実の金属の抵抗はどこから来るのか。並びの乱れからです。一つは、熱によるイオンの揺れ。もう一つは、混じりものや結晶の傷。ブロッホの論文(1928年8月10日受付)は、イオンの熱の揺れを考えに入れると、金属の抵抗の大きさと、温度による変わり方が、実験とおおよそ合うことを示しました。金属を冷やすと電気が通りやすくなるのは、イオンの揺れが小さくなるからだったわけです。

プラスの電気が流れているように見える金属

ブロッホの理論は、もう一つの古い謎にも答えを出しました。電流を流している金属の板に磁石を近づけると、流れは横向きに押されて、板の両端にわずかな電圧が生まれます(1879年に見つかったホール効果です)。どちら向きの電圧が出るかを見れば、流れているのがマイナスの粒かプラスの粒かが分かります。

電子はマイナスですから、結果は決まっているはずでした。ところが一部の金属では、プラスの粒が流れているとしか読めない向きに電圧が出ます。ゾンマーフェルトの理論からは出てこない向きです。

1928年の暮れ、同じライプツィヒにいたルドルフ・パイエルスが、ブロッホの計算からは両方の向きが出てくることを示しました(12月24日受付)。結晶の中の電子は、取りうるエネルギーの範囲の上のほうにいるとき、押された向きとは逆に動くかのようにふるまいます。席がほとんど満員で、少しだけ空席があると、その空席が、プラスの電気を持つ粒のように動いて見えるのです。

前回を読んだ方には、聞き覚えのある話でしょう。ディラックが「満員の席にできた空席は、プラスの粒に見える」と書いたのは1929年12月。ほぼ同じ時期に、固体の中でも同じ形の考えが育っていました。ハイゼンベルクは1931年、これを「正孔」(プラスの穴)という考えにまとめました。

解けすぎた問題——絶縁体は、なぜあるのか

ここで困ったことが起こります。ブロッホの理論では、完全な結晶の中の電子は、すべて自由に動けます。それなら、どんな物質も電気を通すはずです。ブロッホ以前は、金属があることが不思議でした。ブロッホ以後は、電気を通さない物質(絶縁体)があることのほうが不思議になったのです。

当時は、絶縁体とは電子が原子から原子へ移りにくいだけの、いわば「通しにくい金属」だろうと考えられていました。程度の差だ、というわけです。

1931年1月の第1週、ケンブリッジから24歳のアラン・ウィルソンがライプツィヒに着きます。ハイゼンベルクはさっそく、パイエルスの仕事を解説する発表を頼みました。しかもドイツ語で、です。その準備をしていた1月の終わり、ウィルソンは気づきます。

結晶の中の電子が取れるエネルギーは、どこまでも続いているわけではありません。入れる「帯」と、入れない「隙間」が交互に並んでいます(パイエルスらが1930年ごろまでに示していました)。そして電子は、排他原理に従って、下の帯の席から順に詰まっていきます。

帯が途中までしか埋まっていなければ、すぐ上に空席があります。電圧をかけると、電子は隣の空席へ移り、流れが生まれます。これが金属です。では、電子の数がちょうど、ある帯を満員にするだけあったらどうなるか。どの電子にも、同じ帯の中に移れる席がありません。上の帯へ行くには隙間を飛び越えなければならず、弱い電圧ではそれができない。すべての電子は自由に動けるのに、全体としては何も流れません。これが絶縁体です。

ウィルソンは論文にこう書きました。束縛された電子で電気が流れることもあれば、自由な電子で電気が流れないこともあるという、「いささか奇妙な結果」になる。違いは程度ではなく、席の埋まり方でした。

この考えを聞いたハイゼンベルクはすぐに理解し、ブロッホを呼んできました。ブロッホは最初、信じません。それが正しいなら、原子1個あたり電子を2個出すカルシウムのような金属は、帯がちょうど満員になって、絶縁体になってしまうではないか。ウィルソンは、立体の結晶では帯どうしが重なることがあるので、電子が偶数個でも金属になりうる、と答えました。ブロッホはほどなく納得します。論文は1931年6月18日に王立協会に届きました。

ダイヤモンドでいえば、満員の帯と次の帯のあいだの隙間は約5.5 eVあります(eVは電子ボルト。電子1個が持つエネルギーを測る単位です)。のちに光の吸収から測られた値です。室温の熱が電子1個に与えられるエネルギーは、その200分の1ほどしかありません。隙間を飛び越えられる電子は、事実上いないのです。

シリコンは「金属」に分類されていた

この話は、よく「1931年にウィルソンが半導体を説明し、そこからトランジスタが生まれた」とまとめられます。半導体とは、金属ほどではないが電気を通し、温めるとかえって通しやすくなる物質のことです。実際の経緯は、もう少しおぼつかないものでした。

当時、実験の状況は混乱していました。半導体らしいふるまいがはっきり見える物質は、どれも混じりものだらけだったのです。エルランゲン大学のグッデンは、純粋な物質が半導体であることはなく、電気を通すのはいつも混じりもののせいだ、と考えていました。ウィルソンの最初の論文も、混じりもののない「本物の」半導体があるのかどうかは、決めずに残しています。

2か月後の第2論文(8月25日受付)で、ウィルソンはグッデンの見方を受け入れ、混じりものの原子が電子を上の帯へ差し出す、という仕組みを理論にしました。手がかりは亜酸化銅(当時よく調べられていた半導体)です。電気の通り方から見積もった隙間は約0.6 eV、光の吸収から見積もった隙間は約2 eVで、合いません。電気を運んでいるのは物質そのものの電子ではなく、混じりものが出した電子だ、というわけです。わずかな混じりもので電気の通り方を操るという考え方は、いまの半導体づくりの土台になっています。

ところが同じ論文で、ウィルソンはシリコンをこう分類しています。不純なときは半導体のようにふるまうが、純粋ならよく電気を通すので、金属に入れるべきだ。ゲルマニウムは、おそらくどちらにもなる。いまの集積回路を支えるシリコンは、理論の出発点では、半導体の仲間に入っていませんでした。

その後も、まっすぐには進みません。ウィルソンは続いて、金属と半導体の境目で電流が一方向に流れやすくなる仕組みを理論にしましたが、予言した向きは、のちの実験と逆でした。そして1938年ごろ、ケンブリッジで固体への関心が薄いことに見切りをつけ、原子核と宇宙線の研究へ移ります。最初のトランジスタがゲルマニウムで作られるのは1947年。そこから先は半導体の年表にまとめてあります。

この時点でできたこと、できなかったこと

1931年までに分かったことを並べます。電子は波として、規則正しい結晶の中をぶつからずに進む。抵抗は、並びの乱れから生まれる。電気を通すかどうかは、電子が自由かどうかではなく、エネルギーの帯がどこまで埋まっているかで決まる。そして、ほとんど満員の帯の空席は、プラスの粒のようにふるまう。金属、絶縁体、半導体を、一枚の絵の中に並べられるようになりました。

できなかったことも、はっきりしています。この理論は、電子一つひとつが、ほかの粒子すべての影響をならした規則正しい場の中を、別々に動くと仮定しています。電子どうしが互いに避け合うことは、計算に入っていません。1937年、デ・ブールとフェルウェイは、酸化ニッケルのような物質を取り上げました。帯は途中までしか埋まっていないのに、電気を通さないのです。帯の絵どおりなら金属のはずでした。二人は、動こうとした電子が元の原子へ引き戻されてしまうからだ、と考えました。帯の絵だけでは片づかない物質が、6年で見つかったわけです。

超伝導も残りました。ある種の金属を冷やしていくと、ある温度で抵抗が突然ゼロになる現象です。ブロッホ自身が何度も説明を試みては失敗し、「超伝導の理論はどれも反証できる」と冗談を言ったほどです。説明がつくのは1957年でした。

第3回で、ディラックの「満員の席」は、正しい予言を生んだあとで手放された絵だと書きました。今回、同じ絵がもう一度出てきました。こちらは手放されていません。固体の中では、帯は本当に電子で満員になり、空席は本当にプラスの粒のように動きます。真空の説明としては退いた絵が、固体の説明としては、いまも毎日使われています。絵が正しいかどうかは、絵だけでは決まらない。どこに当てはめるかで決まる、ということなのでしょう。

もう一つ。今回の答えは、計算の答えというより、見方の答えでした。「自由に動ける」ことと「流れる」ことは別だ、と気づくこと。式はブロッホの論文にすでにあり、帯もそこに現れていました。ブロッホはのちに、自分は帯をいまのような意味では考えておらず、そのために金属と絶縁体の本当の違いを取り違えていた、と認めています。答えは出ていたのに、まだ読み取られていなかったのです。

次回は、量子力学そのものへの問いに戻ります。1927年と1930年のソルベイ会議で、アインシュタインはボーアに何を問い、ボーアはどう答えたのか。