伸ばすほど、ほころびた——ゾンマーフェルトの拡張と、前期量子論の行き詰まり

1913年のボーアの模型は、水素が出す光をみごとに言い当てました。では、その考え方はどこまで伸ばせるのか。円だった電子の通り道を楕円にし、相対論を持ち込み、磁場の中に置いてみる——1916年から1925年にかけて、物理学者たちは模型を少しずつ継ぎ足していきます。前期量子論をたどるシリーズの第4回は、継ぎ足すほどに当たり、そして継ぎ目から裂けていった話です(第3回はこちら)。

円を楕円に——1916年、ゾンマーフェルトの拡張

1915年12月と翌1916年1月、ミュンヘン大学のアルノルト・ゾンマーフェルトは、ボーアの模型を広げる論文を二つ発表しました。ボーアの模型では、電子は円を描いて回っていました(第3回で断ったとおり、この「通り道」は当時の理論の描き方です)。ゾンマーフェルトは、楕円を描くことも許しました。電子の動きを「中心のまわりを回る動き」と「中心との距離が伸び縮みする動き」の二つに分け、それぞれに、ボーアと同じ「飛び飛びの値しか取れない」という約束事を当てたのです。刻みの幅はどちらも、第1回で登場したプランクの定数 h です。電子の状態を指定する数は、一つから二つに増えました。

結果は意外なものでした。二つの数の合計が同じなら、円でも細い楕円でも、エネルギーはまったく同じになります。ボーアの式は、そのまま残ったのです。

違いが出るのは、相対論を入れたときでした。楕円を描く電子は、中心に近づくところで速くなります。相対性理論によれば、速く動くものはわずかに重くなります。その効き方が楕円の細さによって違うので、合計が同じでもエネルギーがほんの少しずつずれます。1本に見えていた線が、よく見ると細かく割れている——「微細構造」と呼ばれていたこの現象が、これで説明できました。割れ方の大きさを決めるのは、いちばん内側の円を回る電子の速さが光の速さの何分の1か、という数で、約137分の1です。のちに「微細構造定数」と呼ばれる、物理学の基本的な定数の一つです。

確かめたのは、テュービンゲンの分光学者フリードリヒ・パッシェンでした。ヘリウムイオン(第3回で登場した、電子が1個しかないヘリウム)では、割れ方が水素の16倍に広がります。パッシェンは波長468.6ナノメートルの線を測り、1916年5月、ゾンマーフェルトに書き送りました。「測定は終わりました。あなたの微細構造とみごとに一致しています。あなたの理論がなければ、この結果は見つからなかったでしょう」。8月にはアインシュタインが、あなたの解析によって初めてボーアの考えは完全に納得のいくものになった、と書いています。

答えが出せないときは、古い物理に聞く——対応原理

線の波長は出せても、どの線が強く、どの線が弱いのか。どの飛び移りが起きて、どれが起きないのか。第3回の最後に残したこの問いに、理論は答えを持っていませんでした。

ボーアが1918年に打ち出したのは、うまい回り道でした。数が大きい、つまり高い段のあたりでは、段の間隔がつまり、飛び飛びであることがほとんど目立ちません。そこでは量子論の答えは古典物理の答えに近づくはずだ。実際、隣り合う段のあいだを飛び移るときに出る光の振動数(1秒間に何回波打つか)は、数が大きくなるほど、古典物理で回る電子が出す光の振動数に近づいていきます。

ボーアはこれを手がかりに、古典的な電子の動きを、基本の回転と、その2倍、3倍の速さの揺れといった成分に分けて考えました。成分のひとつひとつが、飛び移りのひとつひとつに対応する。成分が無ければ、その飛び移りは起きない。成分が強ければ、その線は強く出る。1920年、ボーアはこの考え方を「対応」と名づけます。いまでいう対応原理です。

これは、正しい答えを知らないまま、答えが満たすべき条件から推し量る方法です。それでもよく当たり、数年後、若いハイゼンベルクが新しい力学を組み立てるときの足場になります。

電子が2個になると、もう合わない

伸ばすほど当たる理論は、しかし、二つの場所で行き詰まりました。

一つ目はヘリウム原子です。水素の次に簡単な、電子が2個だけの原子ですが、2個の電子がどんな通り道を描くと考えても計算が合いません。1922年、アメリカのヴァン・ヴレックは有力な模型を計算し、電子1個を引きはがすのに必要なエネルギーが20.7電子ボルト(電子ボルトは原子の世界で使うエネルギーの単位)になることを示しました。当時の実験値は25.4電子ボルトです。翌1923年、ボルンとハイゼンベルクはより一般的な計算を試み、「ヘリウムの問題を量子論で一貫して計算すると、エネルギーの値を誤る」と書きました。そして、約束事そのものが間違っているのか、電子がもはや力学の法則に従っていないのか、そのどちらかだと結論しています。

二つ目は磁場です。光を出している原子を磁石のあいだに置くと、1本の線がいくつかに割れます。3本に割れる素直な場合は説明がつきましたが、実際には4本、6本と、説明のつかない割れ方をする線のほうが多かったのです。これは「異常ゼーマン効果」と呼ばれました。分光学者たちは線の並びに合う規則を実験から見つけていきましたが、そこには理論からは出てこない「半分」の数が紛れ込んでいました。

1922年の秋、コペンハーゲンの街で「ずいぶん不幸せそうだね」と声をかけられた22歳のパウリは、こう言い返したそうです。「異常ゼーマン効果のことを考えているときに、どうして幸せそうな顔ができるだろう」。1946年の講演で、本人が語った思い出です。

二つに割れた銀の跡と、電子の「自転」

1922年2月7日から8日にかけての夜、フランクフルトでオットー・シュテルンとヴァルター・ゲルラッハがある実験に成功します。銀を熱して原子の細い流れを作り、形を工夫した磁石のあいだを通して、ガラス板に吹き付ける。銀の原子はそれぞれ小さな磁石のようにふるまうので、磁場の中で曲げられます。

古典物理なら、小さな磁石はあらゆる向きを向いているはずなので、板の上の跡はぼんやり広がるだけです。ボーアの理論は、原子の向きは決まったものしか許されず、流れは二つに分かれると予想していました。結果は二つ。二つの跡の間隔は約0.1ミリで、顕微鏡写真ではっきり見分けられました。ゲルラッハはすぐにボーアへ写真付きの葉書を送り、あなたの理論が確かめられたと伝えています。

ところが、いま分かっているのは、この二つの分かれ方をつくっていたのは、ボーアの理論が考えていた「電子が回る動き」ではなかった、ということです。当時は誰も知らなかった電子の性質が、正しい答えを出していました。

その性質に形が与えられるのは3年後です。1925年、パウリは、原子の中の電子は四つの数で指定され、同じ四つの数を持つ電子は一つの原子の中に二つとありえない、という規則を発表します(パウリの排他原理)。四つ目の数についてパウリは、「古典的には記述できない二価性」と書くにとどめました。

同じ年の秋、ライデン大学の若い二人、ウーレンベックとハウトスミットが、その四つ目の数を「電子が自転している」ことだと考えました。指導教授のエーレンフェストはこう言ったといいます。「面白い考えだ。間違っているかもしれない。だが君たちにはまだ評判がないのだから、失うものは何もない」。論文はその秋のうちに出ました。パウリは最初、古典力学じみたこの考えを強く疑っていましたが、トーマスの計算を見て考えを改めた、とのちのノーベル賞講演で述べています。今日では、スピンは小さな玉が本当に回っているわけではなく、電子に生まれつき備わった性質だと理解されています。

この時点でできたこと、できていなかったこと

できたことは、少なくありません。線の細かな割れ方。線の強さと、起きる飛び移りの見当。磁場の中で原子の向きが決まった値しか取れないこと。そして、電子は四つの数で指定され、同じ組が二つとないという規則。この最後の規則は、周期表で性質の似た元素が一定の間隔で現れる理由を説明する道を開きました。

できていなかったのは、それらを一つの原理から導くことです。楕円の約束事、相対論による補正、理由の分からない「半分」の数、対応原理という経験則、そして後から足された四つ目の数。どれも当たりましたが、どれも別々に継ぎ足されたものでした。ヘリウムはとうとう計算が合わず、シュテルンとゲルラッハの実験では、当たっていても、なぜ当たるのかが取り違えられていました。

ボルンとハイゼンベルクが1923年に書いた二つの可能性——約束事が間違っているのか、電子が力学の法則に従っていないのか。結果から言えば、答えは後者に近いものでした。変えるべきは継ぎ目ではなく、電子の動きを記述する力学そのものだったのです。最終回となる次回は、1924年から1927年にかけて、その新しい力学がどう生まれ、前期量子論から何が引き継がれたのかを追います。