当たりすぎた原子模型——ボーアが1913年に説明できなかったこと

1913年、27歳のニールス・ボーアが発表した原子の模型は、水素が出す光の波長を言い当てました。しかも、それまで実験からしか得られなかった数値を、電子の重さや電気量といった、もっと基本的な量だけから計算してみせたのです。ところが、なぜそれで当たるのかは、ボーア自身にも説明できませんでした。前期量子論をたどるシリーズの第3回は、当たりすぎて困った模型の話です(第2回はこちら)。

中心に何かがある、としか言えなかった

1911年5月、マンチェスターのアーネスト・ラザフォードが一本の論文を出します。ガイガーとマースデンが金箔にアルファ粒子(ヘリウムの原子核にあたる、正の電気を帯びた重い粒)を撃ち込んだところ、2万個に1個ほどが、平均して90度以上も曲げられて返ってきました。当時考えられていた「原子の中で正の電気がぼんやり広がっている」という描像では、これほど大きな跳ね返りは起きません。ラザフォードは、原子の中心のごく狭い場所に電気が集中していると考えれば、この曲がり方が説明できることを示しました。

ここで、教科書が省いてしまう事実が一つあります。この論文には「原子核(nucleus)」という語が一度も出てきません。ラザフォードが使っているのは「中心電荷(central charge)」という言い方です。しかも彼は、その電荷が正なのか負なのかも決められないと正直に書いています。「それが正であるか負であるかを決める確かな証拠は、今のところ得られていない」。1911年に原子核が発見された、という言い方は、あとから整えられた物語です。

さらに困ったことがありました。中心に重い電荷があり、そのまわりを電子が回っているとすると、古典的な電磁気学では、回る電子は光を出し続けてエネルギーを失い、ごく短い時間で中心へ落ちてしまいます。この模型は、そのままでは「原子が壊れずにいられる」ことすら説明できなかったのです。

誰も相手にしなかった「蝶の羽の模様」

一方、まったく別のところに、使われないままの数式がありました。

1885年、バーゼルの学校教師ヨハン・バルマーが、水素の出す光の波長が簡単な整数の式にきれいに乗ることに気づきます。ある基準の長さに、m×m を (m×m − 4) で割った数を掛ける。m に 3, 4, 5, 6 を入れると、観測されている4本の線の波長が、小数点以下まで合ってしまう。ただし、なぜその式になるのかという理由はまったくありません。数字が合うというだけの式でした。

当時の物理学者にとって、光の線の並び方はそういう扱いでした。ボーア自身が1962年の聞き取りで、こう言っています。「蝶の羽を見れば、その色の並び方は確かにとても規則的だ。しかし、蝶の羽の色から生物学の基礎が得られると考えた人は、誰もいなかった」。美しいが、原子の中身を知る手がかりにはならない。それが常識だったのです。同じ聞き取りで、ボーアは、マンチェスターにいたころバルマーの式を知らなかったとも述べています。

二つの約束事だけで、数字が出た

ボーアが置いたのは、二つの思い切った約束事でした。

一つめ。電子には、光を出さずにいられる決まった状態がいくつかある。古典的な電磁気学では、回る電子は必ず光を出すはずですが、この状態にいるあいだは出さない、と決めてしまう。二つめ。光が出るのは、電子がある状態から別の状態へ飛び移る瞬間だけで、そのとき出る光の粒ひとつ分のエネルギーが、二つの状態のエネルギーの差にちょうど等しい。第1回のプランク、第2回のアインシュタインと受け継がれてきた「エネルギーの刻み」を、今度は原子の中に持ち込んだわけです。

この二つから計算すると、バルマーの式がそのまま出てきます。それだけではありません。式の前についている定数——観測から決めるしかなかった数値——が、電子の重さ・電気量・プランク定数という、光の線とは何の関係もない量の組み合わせとして書けてしまうのです。

ボーアが論文に載せた数字は正直です。理論から出てくる値は毎秒3.1×10¹⁵、観測されている値は毎秒3.290×10¹⁵。6%ほどずれています。ボーアはこれを、当時まだ精度の低かった電子の重さや電気量の測定値のせいだとし、測定の不確かさの範囲で一致している、と書きました。ぴたりと合ったわけではないけれど、けた違いの偶然でもない。この微妙な位置が、1913年7月の出発点でした。

ヘリウムの線で、有効数字5桁まで合った

決定打は、水素ではなくヘリウムから来ました。

星の光を分けたスペクトルの中に、ピッカリングが見つけていた一群の線があります。当時は水素の線だと考えられていました。ボーアは、これは水素ではなく、電子を1個失ったヘリウム(ヘリウムイオン)の線だと主張します。中心の重い電荷のまわりを電子が1個回るという構図は同じで、違うのは中心の電荷が2倍という点だけだからです。

ところが、分光学者のファウラーが反論します。ボーアの式なら、ヘリウムイオンと水素とで定数の比はちょうど4.0000になるはずだが、実験では約4.0016になる、と。

ボーアの返事は、1913年10月のNature誌に載りました。中心の重い電荷は動かない杭ではなく、電子と一緒にわずかに揺れている。その分を勘定に入れると、比は4.00163になる——ファウラーの測った値と、有効数字5桁まで一致しました。ファウラー自身が、この修正を価値ある追加だと認めています。

同じ年の9月、ヘヴェシーがこの話をアインシュタインに伝えたときの反応が、ボーア宛の手紙に残っています。アインシュタインはひどく驚き、「では、ボーアの理論は正しいにちがいない」と言った、と。第2回で見たとおり、自分の光量子がなかなか受け入れられずにいた、その当人の言葉です。

この時点でできたこと、できていなかったこと

できたのは、水素と、電子が1個しかない仲間(ヘリウムイオンなど)が出す光の線を、もっと基本的な量だけから計算することでした。原子が壊れずにいられる理由も、「決まった状態がある」と認めるかぎりは筋が通ります。

できていなかったことは、それより多くあります。電子が2個あるだけのヘリウム原子そのものは、計算が合いませんでした。線の波長は出せても、どの線が強く出るのかは説明できません。そして何より、なぜ決まった状態では光を出さないのか——一番肝心なところが、理由のない約束事のまま残りました。ボーアはそれを説明したのではなく、そう決めただけなのです。

もう一つ、いまの言葉で読むときに注意がいります。この模型の電子は決まった「軌道」を回りますが、現在の量子力学では、電子が道筋をたどるという描き方そのものが成り立ちません。ここでいう軌道は、この時期の理論を読むための便宜だと思ってください。

それでも、この模型は当たりました。当たったからこそ、物理学者たちは「ではどこまで伸ばせるのか」を試すことになります。円ではなく楕円の軌道を許し、相対論の効果を入れ、磁場の中に置いてみる。次回は、その拡張がどこまで進み、どこで裂けたのかを追います。